Сума кутів опуклого многокутника

Теорема. Сума кутів опуклого п-кутника дорівнює 180°(п-2)
І спосіб доведення

І спосіб доведення.

1-й крок. п-кутник розбивається діагоналлю, що виходить з вершини, на трикутник і п-1-кутник.

 Тоді сума кутів п-кутника S_n=180° + S_n-1, де S_n-1 – сума кутів п-кутника.

2-й крок. Знаходимо S_n-1, розбиваючи п-1-кутник другою діагоналлю, що виходить із тієї ж вершини многокутника, на трикутник і п-2-кутник.

 Тоді

S_n-1= 180° + S_n-2,

S_n =  180° + (180° + S_n-2),

S_n =  180°·2 + S_n-2.

І так розбиваємо п-кутник доти, доки останній із многокутників п-3-ю діагоналлю не буде розбитий на п-2 трикутники:

S_n= 180°(n-3)+S₃;

S_n= 180°(n-3)+180°;

S_n= 180°(n-2).

ІІ спосіб доведення.

Якщо п – кількість сторін многокутника, то п-2 – кількість утворених трикутників діагоналями, що виходять з однієї вершини.

Сума кутів даного многокутника дорівнює сумі усіх цих трикутників:

S_n= 180°(n-2).

ІІІ спосіб доведення.

1. Нехай в опуклому п-кутнику парна кількість сторін. Розіб’ємо його діагоналями на чотирикутники.

 - кількість утворених чотирикутників. Сума кутів даного п-кутника дорівнює сумі цих чотирикутників:

S_n = 360°,

S_n = 180°(n-2).

2. Нехай в опуклому п-кутнику непарна кількість сторін. Розіб’ємо його діагоналями на  чотирикутники та один трикутник. 

Сума кутів даного п-кутника дорівнює сумі кутів усіх чотирикутників та кутів трикутника:

S_n = 360°· + 180°,

S_n = 180°(n-2).

VІ спосіб доведення.

Виберемо довільну внутрішню точку опуклого п-кутника і з’єднаємо її з усіма вершинами.

Отримаємо п трикутників зі спільною вершиною у точці О. Сума всіх кутів при вершині - 360°. Сума кутів усіх трикутників 180°×п. Тоді 180°п = S_n + 360°, де S_n – сума кутів п-кутника. Отже,

S_n = 180°п-360°,

S_n = 180°(n-2).